MatemaTICzando la realidad

Tales de Mileto

En este segundo trimestre, estamos trabajando la semejanza de figuras, en particular, la de triángulos y por supuesto el  famoso teorema de Tales. Una de las principales aplicaciones del teorema de Tales es la medición de objetos de gran altura. En breves días, os compartiré una actividad al aire libre que hemos hecho en 4º de ESO consistente en medir alturas alrededor del instituto junto a os instrumentos caseras que hemos usado para tal menester y la creación de dichos instrumentos.

Lo que os quiero mostrar en esta entrada, son las posibilidades del programa Geogebra para visualizar este tipo de problemas geométricos y, de esta forma, nos sea más sencillo realizar las actividades.

Uno de los métodos que hemos comentado en clase y que de no haber sido por la lluvia hubiéramos usado en la actividad, es el que nos muestra Julio Verne en su libro «La isla misteriosa» y que os pongo a continuación tal y como nos cuenta Yákov Perelmán en su libro «Geometría Recreativa«:

– Hoy vamos a medir la altura del acantilado de Vista Lejana, –dijo el ingeniero.
– ¿Necesitamos algunos instrumentos? –preguntó Gebert.
– No hace falta. Lo haremos de otra manera, más fácil y más segura.
El joven, caminó desde el acantilado hasta la orilla. Cogió un jalón de 12 pies de
longitud, el ingeniero comprobó la medida con su estatura, la cual conocía bien.
Gebert entregó una plomada al ingeniero; ésta no era más que una piedra atada al
extremo de una cuerda. Situándose a 500 pies del acantilado vertical, el ingeniero
clavó el jalón verticalmente en la arena, con la ayuda de la plomada, enterrándola a
dos pies de profundidad. Luego se alejó del jalón, hasta que tumbándose en el suelo
pudo ver el extremo saliente del jalón y la cresta del acantilado en línea recta
(Figura 7). Marcó este punto con una estaca.
– ¿Tienes algunas nociones de geometría?– preguntó a Gebert.
– Sí.
– ¿Recuerdas las propiedades de los triángulos semejantes?
– Sus lados correspondientes son proporcionales.
– Exacto. Ahora voy a construir dos triángulos rectángulos semejantes. Un cateto
del triángulo pequeño será el jalón, el otro cateto, será la distancia desde la estaca
hasta el pie del jalón; la hipotenusa, es mi línea de vista. En el triángulo mayor los
catetos son el acantilado, cuya altura queremos medir, y la distancia desde la
estaca hasta el pie del acantilado; la hipotenusa es mi línea de vista, que se une con
la hipotenusa del triángulo menor.

– ¡He entendido! – exclamó el joven. La distancia de la estaca hasta el jalón es a la
distancia desde la estaca hasta el pie del acantilado, como la altura del jalón es a la
altura del acantilado.
– Exactamente. Sigamos, si medimos las dos primeras distancias, y sabemos la
altura del jalón, podemos calcular el cuarto miembro de la proporción que es la
altura del acantilado.
Se midieron ambas distancias horizontales: la pequeña midió 15 pies, la grande
midió 500 pies.
Finalmente el ingeniero anotó:
15 : 500 = 10 : x
15 x = 500 x 10
x=333,3 pies
Entonces, la altura del acantilado es de 333 pies.

«Geometría Recreativa» de Yákov Perelmán

 

Para poder visualizar este método y los demás que hemos usado, he creado unas aplicaciones interactivas  con Geogebra con las que se puede visualizarlos y entender mejor los procedimientos.

El objetivo final es crear un libro interactivo que muestre las principales aplicaciones del Teorema de Tales.

Hasta que llegue ese momento y a ,modo de aperitivo, os comparto dos geogebras que he creado para describir el método de Julio Verne.

Debéis mover los tiradores verdes para entender el método. Os recomiendo que mováis los tiradores con el teclado, se consigue mucha más precisión.

Cálculo de la altura de un edificio (Julio Verne-simplifica)

Método de calcular alturas de Julio Verne. Versión ampliada

Espero que os gusten ;-).

Fuente de la imagen de Tales de Mileto: «Illustrerad Verldshistoria band I Ill 107» por Ernst Wallis et al – own scan. Disponible bajo la licencia Dominio público vía Wikimedia Commons.