En un post anterior, os presenté varias aplicaciones para resolver ecuaciones  de primer grado mediante el método de la balanza. Al poco de publicarlo, me envió un mensaje David Perea, creador de Retomates, informándome de que había creado una nueva aplicación dentro de Retomates para trabajar dicho tema. La aplicación se llama “Ecuacioneitor” y la podéis encontrar en “Imathination” en la “Zona de alumnos” o bien haciendo clic directamente aquí. Como todos lo recursos de Retomates, dicha aplicación es excelente e ideal para trabajar de forma autónoma la resolución de ecuaciones de primer grado. Os animo a probarla y a recomendarla a vuestros alumnos.

En esta imagen, podéis ver cómo es la aplicación y los pasos que sigues para resolver una ecuación:

Os dejo con un videotutorial que ha creado David para explicar “Ecuacioneitor“:

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PD: Para los que no conocéis Retomates os animo a a usarlo ya que es una de las herramientas TIC imprescindibles para el aula de Matemáticas. En breve, haré una entrada sobre Retomates explicando su principal potencial.

Este es un post que complementará  un artículo, que espero publicar en breve, en el que mostraré  el método que uso para empezar a resolver las ecuaciones de primer grado de forma manipulativa y que a los alumnos les encanta.

Me gusta mostrarles las ecuaciones como una balanza de pesas en las que alguna de ellas es desconocida con el objetivo de adivinar el peso de dicha pesa.

Para ello podemos añadir o quitar pesas pero siempre con la condición de que la balanza quede equilibrada. No les es complicado deducir el procedimiento a seguir: añadir o quitar el mismo número de pesas iguales en ambos lados, hacer los mismos trozos en pesas de ambos lados (despejar), … con el objetivo de dejar la pesa (la x) sola en un plato obteniendo en el otro plato la respuesta.

Veamos dos ejemplos que nos ayudarán a entender mejor el proceso de diferentes formas y con diferentes dificultades:

Aunque ahora uso un método manipulativo, me gusta mucho que practiquen y experimenten la resolución mediante programas interactivos.

En los últimos años, he usado las aplicaciones de la Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales (NLVM) de la Universidad de Utah. Dichas aplicaciones están realizadas en Java y ahora es muy complicado hacerlas funcionar en los centros o en los ordenadores de los alumnos. Lo mismo me ha sucedido con las aplicaciones del Instituto Freudenthal. En un post que escribí hace unos años, podéis tratar de hacer funcionar dichas aplicaciones y veréis el problema del que os hablo.

Afortunadamente he encontrado otros excelentes interactivos que me permiten suplir los anteriores de forma bastante digna y son los que os quiero mostrar en este artículo.

Balanza de naturales del NVLM

Empiezo por el más simple que está basado en una de las balanzas del NLVM y que se queda un poco corto. Nos puede servir para practicar ecuaciones con números naturales. No necesita mucha explicación: se iguala la balanza con los objetos, pulsamos en continuar y vamos realizando las operaciones hasta llegar al resultado.

URL: http://www.hoodamath.com/mobile/games/algebra-balance-equations/game.html

Equality Explorer del PHET

En la biblioteca de “Simulaciones Interactivas” de la Universidad de Colorado podemos encontrar una joya para trabajar este tema desde los niveles más elementales y de forma muy interactiva.

El interactivo  nos lo podemos descargar para trabajar offline, lo tenemos en diferentes idiomas y con unas propuestas para llevar al aula:

El interactivo tiene diferentes niveles.

Os recomiendo usar los siguientes:

  • Empezar con el básico para que se acostumbren a manejar las balanzas y que resuelvan los diferentes problemas que podemos encontrar: peso de los objetos, peso relacionado de frutas, monedas, etc.
  • Operaciones para construir sus propias ecuaciones y practicar la resolución con la balanza y jugar con la comprobación de las soluciones.

  • Resuélvelo en el que tenemos diferentes ecuaciones con diferente nivel de dificultad para resolver.

Libro de Geogebra con balanzas algebraicas

En el siguiente libro de Geogebra, tenéis dos balanzas algebraicas para aprender poco a poco el método de resolución de ecuaciones mediante balanzas algebraicas.

Espero que os gusten y les podáis sacar provecho con vuestros alumnos o hijos.

Continuación…
Si queréis seguir trabajando este tema de forma divertida con vuestros alumnos os recomiendo leer los siguientes posts:

Hace un tiempo presenté un bingo para trabajar la factorización  de identidades notables. En este bingo, se presentan identidades notables de las que hay que calcular su facturación. Por ejemplo, si aparecía x²-9, los alumnos tenía que adivinar su facturación, (x-3)(x+3).

Para trabajar de forma más completa, necesitaba un bingo que me permitiera hacer el proceso al revés (que tantas veces usamos en diferentes partes del álgebra). O sea, desarrollar aplicando las identidades notables, expresiones del tipo (x-3)², (2x+5)², …  Lo podéis encontrar haciendo clic en la imagen o en la URL del final del post. Su funcionamiento es similar a todos los anteriores y los cartones para cada una de las modalidades, los podéis descargar en la misma página viendo las instrucciones.

Ya de paso, os comento que lo he puesto en funcionamiento con un curso de 2º de ESO: nos lo hemos pasado muy bien, hemos llegado a hacer todos los desarrollos a la perfección realizando alrededor de 50 desarrollos en una clase. ¡Qué alguien intente lo intente hacer sin un juego de este tipo y me cuente la reacción de los alumnos! En mi caso, todos diciendo mañana hacemos otro, pero eso es otro tema …

URL: http://www.aomatos.com/juegos/bingo-identidades-operar.php

En una entrada anterior os hablé de los yohaku, puzles de números muy entretenidos y con muchas posibilidades de uso en el aula. Con motivo de la factorización de polinomios, he creado dos yohakus para trabajar dicho aspecto de forma divertida.

Os los comparto por si os sirven:

Os presento un nuevo bingo que he creado para trabajar las identidades notables de forma divertida.

URL: http://www.aomatos.com/juegos/bingo-identidades.php

El manejo es muy sencillo y está explicado en la propia web.

Podéis jugar con dos tipos de cartones que os podéis descargar en la  misma web. Si queréis hacer bingos más rápidos elegir el cartón 3×3 y en caso contrario el cartón 5×5.

Cartón 3×3

Cartón 5×5

Quiero compartir con vosotros unos rompecabezas que descubría hace un tiempo y que les veo mucha utilidad en nuestras clases.

Yohaku es un nuevo tipo de puzzle de números que pone a prueba tu sentido numérico y tus habilidades para resolver problemas. Cada yohaku es un puzzle aditivo o  multiplicativo (como se indica por el símbolo en la parte inferior derecha de la cuadrícula). El objetivo es rellenar las celdas vacías de manera que den la suma o producto que se muestra en cada fila y columna.

En el siguiente ejemplo se ve un yohaku aditivo (ver el + en la celda inferior derecha) y su solución.

 

En la web de Yohaku podemos encontrar los siguientes puzles:

  1. Aditivos, la operación a usar es la suma.
  2. Miltiplicativos, la operación es la multiplicación.
  3. Algebraicos, ideales para practicar la suma y multiplicación de monomios.

De cada uno de los tipos, tenemos diferentes dimensiones: 2×2, 3×3 y 4×4.

Se pueden usar para trabajar cualquier tipo de operaciones de números. Este año los voy a usar para operar con números enteros y con fracciones.

Os muestro diferentes tipos de Yohakus.

Yohaku aditivo de 4×4


Yohaku multiplicativo de 3×3


Yohaku algebraico de 3×3


Yohakus de fracciones

 

Como podemos ver son puzzles muy sencillos que podemos crear nosotros mismos o que los creen los alumnos por grupos creando desafíos.

Los de 2×2 se pueden adaptar perfectamente a la resta.

Propuesta para el aula (fracciones o números enteros)

  1. Organizamos a los alumnos en grupos o parejas.
  2. Empiezan resolviendo diferentes yohakus que les daré yo. Habrá de sumas, restas y multiplicaciones de 2×2. (en breve las publicaré aquí)
  3. Sobre una hoja variada de yokakus haremos una competición por grupos a ver quién los completa antes.
  4. Cada grupo diseñará una plantilla con diferentes yokakus de sumas, restas y multiplicaciones de 2×2. (en breve, la publicaré aquí)
  5. Posteriormente, los grupos se retarán con las plantillas creadas por elllos mismos.

En una entrada anterior, os compartí el juego del cuatro en raya para trabajar las “ecuaciones de primer grado sencillas”. En dicha entrada, además del tablero y las reglas, teníais las plantillas en blanco de los tableros para que cada uno se creara sus propios tableros.

En esta entrada, os comparto diferentes tableros que he creado y que os pueden ser útiles:

Y eso es todo amigos, buena suerte con el álgebra ;-).

Os presento una web más para trabajar el álgebra. En este caso, sirve para trabajar la resolución de sistemas lineales de ecuaciones con dos incógnitas.

Nos irá mostrando diferentes sistemas de los que podemos ver sus soluciones. El funcionamiento es similar a las otras webs  que he creado y que está explicado en la propia web.

Sé que estas webs son mejorables y poco a poco lo iré haciendo. En breve, añadiré la posibilidad de hacer tests con puntuaciones.

URL: http://aomatos.com/juegos/sistemas.php

PD: Ante cualquier error que podáis encontrar, agradecería que me lo notificarais.

Todos los que impartimos clases de matemáticas sabemos perfectamente que el álgebra les resulta árida, difícil y aburrida a nuestros alumnos. Con el objeto de hacerla más atractiva, suelo hacer sesiones de juegos algebraicos como algunos que ya he publicado en este blog:

Hoy os quiero presentar otro juego, el puzzle blanco, que también he llevado al aula con buen resultado.

El juego es muy sencillo. A cada alumno o grupos, le damos una plantilla con una tabla que contiene en cada celda cuatro operaciones, una en cada uno de sus lados. El objetivo es resolver el puzzle de forma que los lados contiguos de los cuadrados tengan la misma solución.

Por ejemplo, veamos un puzzle 3×3 de ecuaciones de 1er grado sencillas:

Vemos que para poder montar el puzzle correctamente tenemos que resolver las ecuaciones de primer grado. Posteriormente, haremos que los lados de los cuadrados que pegan tengan la misma solución.

Los puzzles que he usado en años anteriores y que os comparto por si los queréis usar son:

En todos los documentos, tenéis la solución del puzzle en la página 2. Tienen la forma:

Nos da la posición de los cuadrados originales que están numerados del 1 al 9 en el orden de lectura (izda a derecha y arriba a abajo).

Este juego se puede adaptar a múltiples contenidos del currículo. De hecho, también he realizado algún puzzle de ecuaciones de 2º grado y de operaciones básicas con polinomios que todavía no he digitalizado. Para ello, tengo unas plantillas creadas que sólo tenéis que imprimir y diseñar vuestros propios puzzles:

Lo de siempre: Espero vuestras opiniones y aportaciones 😉

He creado una página web para trabajar de forma autónoma la resolución de ecuaciones de 2º grado. La pueden usar vuestros alumnos por si solos para repasar o la podéis usar en clase con un proyector para ir poniendo ejercicios de este tipo y que los vayan resolviendo.

URL: Web para practicar ecuaciones de 2º grado http://www.aomatos.com/juegos/ec2grado.php

En ella podéis encontrar ecuaciones de diferentes tipos:

  • Todo tipo de ecuaciones (valor por defecto)
  • Ecuaciones completas con soluciones enteras
  • Ecuaciones incompletas del tipo: $latex ax²+bx=0$
  • Ecuaciones incompletas del tipo $latex ax²+c=0
  • Ecuaciones completas con soluciones racionales (fracciones)

Su  manejo es muy sencillo, simplemente hacemos clic en el botón “Mostrar ecuación” y se nos mostrará la ecuación a resolver:

Podemos ver la solución con el botón “Mostrar solución”:

Por último, tenemos el botón “Nueva ecuación” para seleccionar otra.

En breve, añadiré ecuaciones más complejas y unas ayudas para la resolución. Y si tengo tiempo, la resolución por pasos.

Espero que os sea útil.