La eterna pregunta que me hacen los alumnos y que crece, casualmente, de forma exponencial cuando vemos los logaritmos “¿Y esto para qué sirve?“. Es más, en varias conversaciones con personas que los han estudiado, muy pocos podían decirme para que servían y mucho menos su importancia histórica. Ante esta tesitura, siempre que comienzo con los logaritmos trato de hacerles ver su importancia histórica y en que actividades aparecen los logaritmos.

En el siglo XVI y XVII, los matemáticos y científicos invertían gran cantidad de su tiempo en la realización de cálculos complejos. En esos siglos se  elaboraron los calendarios con mayor precisión,  se produjo un auge en el estudio de la astronomía,  se crearon las cartas de Navegación (fundamentales en dichos siglos),  el diseño de fortalezas teniendo en cuenta las condiciones del terreno para protegerse de la artillería de los sitiadores con la ayuda de bastiones, ángulos, salientes, etc., y así podríamos seguir. Todas estas disciplinas requerían resolver problemas de Trigonometría y había que disponer de tablas trigonométricas precisas y la construcción de dichas tablas exigía de cálculos muy laboriosos. Y ahí entraron los logaritmos para abreviar los cálculos y permitir que las grandes mentes se pudieran dedicar a cosas más productivas.

La idea principal, es transformar los productos en sumas, las divisiones en restas y las potencias en simples multiplicaciones.

 

En 1614, John Napier publicó su obra “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usus in utroque Trigonometría; ut etiam in omni logística mathematica, amplissimi, facillimi, et expeditissimi explicatio”, en la que da a conocer los logaritmos que él llamó «números artificiales». En el prefacio muestra que Napier sabía exactamente lo que él había aportado y para qué era bueno:

Puesto que nada es más aburrido, compañeros matemáticos, en la práctica de las artes matemáticas, que el gran retraso sufrido en el tedio de las multiplicaciones y divisiones largas y pesadas, el hallazgo de proporciones y en la extracción de raíces cuadradas y cúbicas, y … los muchos errores escurridizos que pueden surgir; yo he estado dándole vueltas a mi cabeza de cómo podría ser capaz de solventar las dificultades mencionadas para que sea un arte segura y rápida. Al final, después de pensar mucho, finalmente he encontrado un modo asombroso de acortar los procedimientos … es una tarea agradable exponer el método para el uso público de los matemáticos.

Considero importante que los alumnos valoren la importancia histórica que tuvieron los logaritmos y que, evidentemente, han perdido debido a las calculadoras. Pero no solo eso, como sucede muchas veces en matemáticas, aparecieron propiedades y utilidades que no estaban previstas en su concepción original. Un poquito de todo esto lo hablo con los alumnos.

En esta entrada quería compartir con vosotros una serie de documentos que he creado para trabajar estos temas por si os son de utilidad:

No pongo nada sobre el interés compuesto ya que aparece hasta en la sopa ;-).

Espero que os gusten. 

PD: Gracias Juan Francisco por compartir tu trabajo.

Un agujero negro​ es una región finita del espacio en cuyo interior existe una concentración de masa lo suficientemente elevada como para generar un campo gravitatorio tal que ninguna partícula material, ni siquiera la luz, puede escapar de ella. En matemáticas, también existen agujeros negros que sorprendentemente atraen a todos los números.

Os presento hoy el agujero negro del 9:

  1. Piensa una fecha cualquiera -> “14 de julio de 1975”
  2. Escríbela como si fuera un número -> 1471975
  3. Ordena las cifras de mayor a menor -> 9775411
  4. Ordena las cifras de menor a mayor -> 1145779
  5. Resta estas dos cantidades -> 9775411 – 1145779 = 8629632
  6. Suma las cifras del resultado -> 8+6+2+9+6+3+2 = 36
  7. Suma de nuevo las cifras obtenidas -> 3+6 =9

El resultado siempre será 9.

Trata de averiguar por qué se produce ;-).

En una entrada anterior, “Puzzles blancos de logaritmos“, os compartí unos puzles blancos para trabajar los logaritmos.

Debido a que para cada puzle había varias hojas, con el consiguiente aumento en gasto de fotocopias y a que esta semana los he usado con mis alumnos, los he reducido para que entren en una sola hoja.

En este principio de curso se los ha descargado mucha gente, por lo que os comparto las nuevas versiones.

Puzles con forma de rombo

Puzles con forma de óvalo

Calcular el valor de x para que se cumpla:

\( 4^x+4^x+4^x+4^x= 4^{20}\)

Nivel: A partir de 2º de ESO

Fuente: Nrich

Seguimos con los bingos matemáticos. Hoy toca compartir uno que he creado para practicar las operaciones con los números enteros.

URL: http://www.aomatos.com/juegos/bingo-enteros.php

El manejo es muy sencillo y está explicado en la propia web.

Podéis encontrar diferentes niveles que van incrementando en dificultad, desde el básico hasta el 2B. Para que os hagáis una idea de la dificultad, os dejo unos ejemplos de cada nivel.

Nivel básico

Nivel 1 A

Nivel 1 B

Nivel 2 A

Nivel 2 B

Os comparto el nuevo bingo que he creado para trabajar de forma divertida en el aula las razones trigonométricas de los ángulos fundamentales.

El funcionamiento es similar a los otros bingos que he creado así que no me entretengo en su explicación. La única diferencia es que hay que descargarse los cartones de bingo e imprimirlos. Todo lo necesario, junto con las explicaciones pertinenentes, lo tenéis en la web del bingo:

URL: http://www.aomatos.com/juegos/bingo-trigono.php

PD: Ante cualquier error que podáis encontrar, agradecería que me lo notificarais.

Durante el curso pasado (2016/2017) impartí el curso “Ideas y recursos para la clase de Matemáticas en Secundaria” en el CFIE de Burgos invitado por Ana Mª Pontón Oca. Fue un lujo coincidir con un grupo de profesores comprometidos con la enseñanza de las matemáticas y con una asesora apasionada de nuestra profesión. Antes de seguir quiero darles las gracias (aunque tarde) por el trato que me dispensaron. Hubo momentos de debate sobre la visión que tenemos cada uno de la enseñanza de las matemáticas, del enfoque de la misma, de las opiniones de los alumnos, etc.

Este post es el primero de una serie en la que os iré contando los aspectos tratados en cada una de las sesiones y compartiré el material que usé para dicho curso. Antes de continuar quiero advertir que aunque el título del curso se refiera a Secundaria, una gran parte de él puede usarse a la perfección en el tercer ciclo de Primaria.

En la introducción del curso se usó la siguiente descripción de la matemática que aparece en el Boletín Oficial de Castilla y León:

La matemática es mucho más que la ciencia de los números (…) su carácter
aglutinante, universal, teórico y riguroso y a la vez pragmático y aplicable a todas
las ciencias (…) hace de esta disciplina una auténtica ciencia del conocimiento.
(Bocyl, 8 mayo de 2015, p.32190)

Aunque dicha definición es cierta y no podemos obviarla, me gusta más entender las matemáticas en base a estas palabras de G. H. Hardy:

Un matemático, como un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Si sus patrones son más permanentes que los del poeta, es porque están hechos de ideas.

Y si a las palabras de Hardy le añadimos las de Goethe “Saber no es suficiente, debemos aplicar. Desear no es suficiente, debemos hacer” se nos presenta el aula de matemáticas como una bella excusa para pensar como decía el amigo “Ángel Ramírez”:

Con todo lo anterior el objetivo principal de curso era dar al profesorado estrategias y recursos motivantes que  justifiquen la necesidad de conocer las matemáticas a través de proyectos de investigación, tecnologías que mejoren el aprendizaje y la resolución de problemas como reto formativo de primer orden. Todo ello desde mi perspectiva de uso en el aula, viendo aquellas herramientas que a mi me sirven, aquellos proyectos que me han funcionado (y también aquellos que no), usando recursos sencillos que resultan motivadores para el alumnado, etc,

Anticipando algún post y para que os hagáis una idea del enfoque que quería dar os pongo como sencillo ejemplo la diferencia entre plantear una pregunta aburrida y repetitiva “calcula los divisores de 6” versus una tarea rica “¿qué números tienen cuatro divisores?”.

La estructura del curso fue la siguiente, cuatro sesiones de tres horas con los siguientes títulos que os pueden permitir haceros una idea de los temas tratados:

  • «Utilidades y recursos TICA: Desmos, Kahoot, Plickers,ThatQuiz, libros de GeoGebra»
  • «Proyectos matemáticos: restaurante matemático y otros guisos».
  • «Juegos matemáticos para el aula: puzles, bingos, cuatro en raya».
  • «Ideas y recursos variados para el aula: cine y matemáticas, matemáticas en tres actos, investigaciones matemáticas».

Y finalizo con la presentación que usé en la primera sesión:

Os comparto un sencillo y divertido puzzle para trabajar la divisibilidad  a un nivel básico y que puede ser ideal para iniciar un tema o realizar al principio de curso.

Nos descargamos el siguiente archivo en el que encontraremos todo lo necesario: el tablero, un juego de cartas con números y otro  con las condiciones.

El tablero y los juegos de cartas

  1. Primero colocamos en el puzzle con las cartas de condiciones en las filas y columnas rectangulares.
  2. El objetivo es colocar todos los números en la celdas cuadradas cumpliendo la condición que corresponda a esa fila y esa columna.

 

Fuente: NRICH

Este es el tercer juego de esta saga y que requiere más tiempo de juego.

Los 100 números

Hoja de resultados del juego

Objetivos

  • Trabajar la jerarquía de las operaciones
  • Operaciones combinadas de números naturales (y enteros)

Nivel: 1º y 2º de ESO
Materiales

  • Cuatro dados de un color
  • Hoja de resultados

Reglas

  • Se lanzan los dados y se anotan los resultados en la tirada 1.

  • Cada equipo va creando sentencias matemáticas con dichos números para obtener los números del 1 al 100 con las siguientes reglas:

    • se pueden usar las operaciones: +, -, x, /, raíz cuadrada, potencia y paréntesis

    • se han de usar todos los números que han salido y solo una vez

  • Una vez agotadas las secuencias para la tirada 1, se pasa a la tirada 2 y así sucesivamente hasta que se considere que ha acabado el juego o se hayan conseguido los 100 números.

  • Variante: poner un número mínimo de números a usar para que sea válida la respuesta.

Ejemplo:

Si al lanzar los dados obtenemos: 4, 4, 2 y 6 , podemos obtener las siguientes operaciones:

  • 4 x 4 x 2 + 6 = 38
  • (6 – 4 + 4) x 2 = 12
  • 6 – 4 + 4 x 2 = 10
  • 4² x 4 + 6 = 70

Os dejo el documento con las explicaciones y la hoja de registro de resultados:

URL: https://app.box.com/s/4x4oj1vzyp85gr4y697pp8ixfbmvwp9n


Os dejo otro sencillo y divertido juego para trabajar las operaciones con números naturales y enteros:

Commit and capture

Tablero del juego

Tablero del juego

Objetivos

  • Trabajar la jerarquía de las operaciones
  • Operaciones combinadas de números naturales (y enteros)

Nivel: 1º y 2º de ESO
Materiales

  • Cuatro dados de un color
  • Tablero

Reglas

Versión Rápida: Se compite por parejas. Cada equipo tiene su propio tablero. Los equipos se turnan para elegir un dado y lo lanzan. Deben llenar un espacio libre de una fila de operaciones con el número que salió. Los equipos completan la operación a la vez que no tiene por qué ser la misma. Cuando la operación está completa gana el equipo con mayor valor.

Versión más rápida: Jugado igual que arriba pero ambos equipos hacen la misma operación. muchos lazos con este método.

Versión matemática: Jugado igual que la versión más rápida, excepto que cada equipo puede completar cualquier espacio abierto en cualquier operación. La puntuación no se realiza hasta que no se haya completado toda la hoja.

Variaciones:

  1. Dado que es posible que haya respuestas negativas gana el que tiene mayor valor absoluto.
  2. Gana el que obtenga el menor valor posible
  3. Jugar tres equipos.


Os dejo el documento con las explicaciones y el tablero:

URL: https://app.box.com/s/l0aie8vhsk0vgv77ienkwmt7pn5p8s5w


Fuente: https://sites.google.com/a/pvlearners.net/sweigand-games/commit-and-capture