Os presento un excelente recurso en forma de libro interactivo creado con Geogebra que cubre todo el currículo de matemáticas de 1° de ESO.

Ha sido creado por Álvaro Fernández Buendía  y Pablo J. Triviño Rodríguez (@p_trivino) con licencia Creative Commons BY- NC -SA. Tal y como detallan ellos, la elaboración del recurso ha sido financiada de acuerdo a la convocatoria del MECD “Ayudas para la elaboración de recursos didácticos para su incorporación a las plataformas de acceso público del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte“.

El libro está dividido en 13 temas con sus correspondientes apartados. En cada uno de ellos, podemos encontrar diferentes interactivos creados por Geogebra que además de explicar los aspectos fundamentales permiten al alumno, realizar diferentes actividades autocorregibles. 

En resumen, un excelente recurso para repasar y profundizar todos los contenidos de 1° de ESO de forma autónoma.

Os dejo un libro interactivo hecho en Geogebra que sirve de introducción a la trigonometría de forma visual. Con dicho interactivo podéis experimentar todos los conceptos mediante la manipulación de figuras. Es un excelente recurso para visualizar y comprender la trigonometría.

En el libro podéis experimentar con:

  • Razones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente de un ángulo agudo.
  • Circunferencia goniométrica o trigonométrica. Representación de ángulos en la circunferencia. Extensión de las razones trigonométricas a ángulos mayores de 90º. 
  • Relaciones entre ángulos de diferentes cuadrantes:
    • ángulos complementarios: suman 90º
    • ángulos suplementarios: suman 180º
    • ángulos que difieren en 180º
    • ángulos que suman 360º y ángulos opuestos
  • Aplicaciones de la semejanza de triángulos.
    • Resolución de triángulos rectángulos y cálculo de áreas
    • Cálculo de alturas y distancias

Para acceder al libro pincha en la siguiente imagen:

URL: Libro interactivo “Introducción a la trigonometría”

Illustrerad Verldshistoria band I Ill 107.jpgTales de Mileto

En este segundo trimestre, estamos trabajando la semejanza de figuras, en particular, la de triángulos y por supuesto el  famoso teorema de Tales. Una de las principales aplicaciones del teorema de Tales es la medición de objetos de gran altura. En breves días, os compartiré una actividad al aire libre que hemos hecho en 4º de ESO consistente en medir alturas alrededor del instituto junto a os instrumentos caseras que hemos usado para tal menester y la creación de dichos instrumentos.

Lo que os quiero mostrar en esta entrada, son las posibilidades del programa Geogebra para visualizar este tipo de problemas geométricos y, de esta forma, nos sea más sencillo realizar las actividades.

Uno de los métodos que hemos comentado en clase y que de no haber sido por la lluvia hubiéramos usado en la actividad, es el que nos muestra Julio Verne en su libro “La isla misteriosa” y que os pongo a continuación tal y como nos cuenta Yákov Perelmán en su libro “Geometría Recreativa“:

– Hoy vamos a medir la altura del acantilado de Vista Lejana, –dijo el ingeniero.
– ¿Necesitamos algunos instrumentos? –preguntó Gebert.
– No hace falta. Lo haremos de otra manera, más fácil y más segura.
El joven, caminó desde el acantilado hasta la orilla. Cogió un jalón de 12 pies de
longitud, el ingeniero comprobó la medida con su estatura, la cual conocía bien.
Gebert entregó una plomada al ingeniero; ésta no era más que una piedra atada al
extremo de una cuerda. Situándose a 500 pies del acantilado vertical, el ingeniero
clavó el jalón verticalmente en la arena, con la ayuda de la plomada, enterrándola a
dos pies de profundidad. Luego se alejó del jalón, hasta que tumbándose en el suelo
pudo ver el extremo saliente del jalón y la cresta del acantilado en línea recta
(Figura 7). Marcó este punto con una estaca.
– ¿Tienes algunas nociones de geometría?– preguntó a Gebert.
– Sí.
– ¿Recuerdas las propiedades de los triángulos semejantes?
– Sus lados correspondientes son proporcionales.
– Exacto. Ahora voy a construir dos triángulos rectángulos semejantes. Un cateto
del triángulo pequeño será el jalón, el otro cateto, será la distancia desde la estaca
hasta el pie del jalón; la hipotenusa, es mi línea de vista. En el triángulo mayor los
catetos son el acantilado, cuya altura queremos medir, y la distancia desde la
estaca hasta el pie del acantilado; la hipotenusa es mi línea de vista, que se une con
la hipotenusa del triángulo menor.
Método de Julio Verne
– ¡He entendido! – exclamó el joven. La distancia de la estaca hasta el jalón es a la
distancia desde la estaca hasta el pie del acantilado, como la altura del jalón es a la
altura del acantilado.
– Exactamente. Sigamos, si medimos las dos primeras distancias, y sabemos la
altura del jalón, podemos calcular el cuarto miembro de la proporción que es la
altura del acantilado.
Se midieron ambas distancias horizontales: la pequeña midió 15 pies, la grande
midió 500 pies.
Finalmente el ingeniero anotó:
15 : 500 = 10 : x
15 x = 500 x 10
x=333,3 pies
Entonces, la altura del acantilado es de 333 pies.

“Geometría Recreativa” de Yákov Perelmán

 

Para poder visualizar este método y los demás que hemos usado, he creado unas aplicaciones interactivas  con Geogebra con las que se puede visualizarlos y entender mejor los procedimientos.

El objetivo final es crear un libro interactivo que muestre las principales aplicaciones del Teorema de Tales.

Hasta que llegue ese momento y a ,modo de aperitivo, os comparto dos geogebras que he creado para describir el método de Julio Verne.

Debéis mover los tiradores verdes para entender el método. Os recomiendo que mováis los tiradores con el teclado, se consigue mucha más precisión.

Cálculo de la altura de un edificio (Julio Verne-simplifica)

 

Método de calcular alturas de Julio Verne. Versión ampliada

Espero que os gusten ;-).

Fuente de la imagen de Tales de Mileto: «Illustrerad Verldshistoria band I Ill 107» por Ernst Wallis et al – own scan. Disponible bajo la licencia Dominio público vía Wikimedia Commons.

Al empezar a ver las áreas de las principales figuras planas: rectángulo, triángulo, trapecio, rombo, etc, prefiero perder más tiempo en la deducción de dichas áreas o, cuanto menos, en darles más sentido a las fórmulas. De otra manera aprenden memorísticamente sin entender para nada lo que quieren decir las fórmulas, una vez más, nos saltamos el paso de lo concreto a lo abstracto.

Para la deducción de dichas fórmulas, tenemos diferentes posibilidades que todas ellas parten de la idea que debe quedar clara de que todas las fórmulas emanan de la más intuitiva: la del rectángulo.

Trabajo con el Geoplano

Podemos empezar a trabajar las áreas de los rectángulos con diferentes actividades sobre un geoplano ortométrico de trama cuadriculada:

geoplano-isometrico

Debido a la sencillez de la construcción de las figuras, podemos trabajar a la vez, el perímetro y las áreas de los rectángulos, de los triángulos, trapecios, etc.

Si tomamos como unidad de medida el área de un cuadrado pequeño, podemos plantear diferentes retos para que deduzcan las áreas de diferentes figuras: pueden ser rectángulos, triángulos, trapecios, polígonos convexos, etc.

En las siguientes imágenes podéis ver diferentes propuestas que os pueden ser útiles:

geoplano-areas-000 geoplano-areas-001 geoplano-areas-002 geoplano-areas-003 geoplano-areas-004 geoplano-areas-005

 

Trabajo con Geogebra

A la par o después de haber hecho diferentes actividades, podemos trabajar con Geogebra para experimentar la deducción de las diferentes fórmulas.

Con este motivo he creado un libro interactivo en Geogebra para experimentar con el razonamiento de las fórmulas de las principales figuras planas. Podemos comprobar como surgen las fórmulas de las principales figuras planas: cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, triángulo, polígonos regulares, área del círculo y longitud de la circunferencia:

interactivo-geogebra

La gran mayoría de los interactivos que componen el libro son de creación propia, excepto los tres últimos que son de dos cracks del geogebra: Manuel Sada y de Juan carlos Mora. Desde aquí quiero agradecerles su trabajo.