Nada mejor para empezar esta entrada dedicada a las investigación en el aula de matemáticas que hablan de la importancia de pensar:

El arte de resolver problemas, como todo arte, es una actividad que requiere fe (se puede), coraje (se quiere), humildad (no se sabe todo) y disciplina (se está dispuesto a esforzarse por seguir  aprendiendo) .

Anónimo

Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.

Hipatia

Para tratar de resolver cualquier problema y, en las investigaciones, puede haber varios de ellos, me parece fundamental la primera cita: necesitamos fe, coraje, humildad y disciplina. Creo que la siguiente imagen muestra con claridad la premisa necesaria: “quiero hacerlo“.

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De ahí parte todo, el resto de escalones nos van a surgir pero seremos capaces de superarlos, o bien por nosotros mismos, o con la ayuda de los demás.

En la resolución de los problemas tenemos que tener claro que estar atascado o bloqueado es una situación muy digna, que constituye la parte fundamental de la construcción del razonamiento matemático. Para ello, no hay nada mejor que enfrentarse a muchos problemas y a hacer muchas investigaciones. Sigo sin comprender porqué es más importante conocer fórmulas, realizar cálculos con precisión y hacer ejercicios repetitivos con la idea de que más adelante lo vas a necesitar, que hacer nuestras propias conjeturas, equivocarnos e ir construyendo nuestro razonamiento matemático. Citando a Paul Lockart:

 Si privas a los alumnos de tener la oportunidad de participar en esta actividad de proponer problemas, hacer sus propias conjeturas y descubrimientos, de estar equivocados, de estar creativamente frustrados, de tener una inspiración, y de improvisar sus propias explicaciones y demostraciones, les estás privando de las matemáticas en sí mismas.

Paul Lockart

Además de dejaros con esas reflexiones sobre la enseñanza de las matemáticas sobre las que sigo dando vueltas, en esta entrada, quería compartir con vosotros tres investigaciones sencillas a las que podemos sacar partido en el aula.

En una entrada anterior, ya os presenté una serie de posibles investigaciones que pretendo complementar con las que ahora so presento.

Los folletos de papel

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Como todos sabemos un folleto de papel se puede hacer doblando una única hoja de papel, y luego cortando y grapando. Si quiero numerar las páginas antes de hacer las dobleces, ¿sabrías decirme cómo hacerlo?

Empieza probando, aborda el problema

  • Dobla una hoja cuatro veces, numera las páginas y luego, sin cortar, desdobla otra vez. ¿qué ves?
  • Haz más dobleces y observa.

Conjetura

  • ¿Cómo se relacionan los números de las páginas con los lados opuestos del papel?
  • Intenta encontrar una ley general para cualquier número de dobleces.
  • ¿Eres capaz de explicar tu razonamiento a tu compañero? Hazlo.
  • ¿Cómo harías las comprobaciones para no cometer errores?

La tira de papel

Imagina una tira de papel larga y estrecha sobre la mesa, de izquierda a derecha. Coge el extremo derecho y colócalo sobre el izquierdo. Ahora aplasta la tira sobre la mesa de forma que quede plegada y con un doblez. Repite la operación dos veces más sobre la nueva tira doblada. ¿Cuántos dobleces se producirán? ¿Cuántos dobleces habrá después de repetir la operación diez veces?

Empieza probando, aborda el problema

  • Coge una tira de papel y soluciona el primer problema.
  • Haz más dobleces y observa.
  • Experimenta.

Conjetura

  • ¿Hay algo relacionado con las dobleces que puedas contar con facilidad?
  • Haz una tabla que relacione el número de veces que doblas la tira con el número de dobleces.
  • Busca un patrón en la tabla anterior.
  • Intenta encontrar una ley general para cualquier número de dobleces.
  • ¿Eres capaz de explicar tu razonamiento a tu compañero? Hazlo.
  • ¿Cómo harías las comprobaciones para no cometer errores?

Popcorn picker

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En esta actividad vamos a usar el método de los tres pasos de Dan Meyer. En concreto, todo lo necesario para la investigación lo tenemos en esta web:

  • En el primer paso, vemos el vídeo que podemos encontrar en la web.
  • En el segundo paso, los alumnos se hacen preguntas y solicitan datos. que les daremos, pero siempre después de que ellos los pidan, no antes. En este paso, tienen que hacer sus propias construcciones y sacar las conclusiones. Tratamos de llegar a ver la razón matemática que lo justifica.
  • En el tercer paso, vemos la respuesta y contrastamos las respuestas de los alumnos.
  • Sería recomendable resolver las cuestiones que plantea Dan Meyer a modo de continuación.

Espero vuestras opiniones :-).

En esta nueva entrada, os voy a compartir un juego de fuerzas desiguales que engancha mucho a los alumnos. Es un juego para dos personas en un tablero de alquerque que se puede clasificar como juego de asalto y captura ya que los objetivos difieren del coyote y de las gallinas.

El juego en Europa es conocido como “cercar la liebre” mientras que en América se le conoce como “el coyote y las gallinas”. Ambas variantes se juegan igual.

El “coyote y las gallinas” o “cercar la liebre”

El tablero

Se juega en un tablero de alquerque como el dibujo. Un jugador escoge las gallinas (12 piezas) y otro será el coyote (una pieza).

Reglas del juego

  • Se colocan las fichas en la posición inicial, según el dibujo anterior.
  • Los jugadores, por turno, van moviendo una de sus piezas a una casilla vacía.
  • Los cazadores comienzan la partida.
  • La liebre y los cazadores pueden desplazarse en todas las direcciones a una casilla contigua vacía.
  • La liebre elimina a un cazador saltando sobre él (como en las damas). Puede capturar varios en un solo movimiento por medio de varios saltos.

Objetivo del juego

  • De los cazadores o gallinas: rodear al coyote o liebre e impedirle que se mueva o pueda comer.

  • De la liebre o el coyote: eliminar el mayor número cazadores o gallinas posibles para que no puedan atraparle. En el dibujo se han eliminado tres, número con el que gana con seguridad el coyote o la liebre.

Los tableros para imprimir

Como en toda la serie, os comparto unos tableros para que imprimir y/o plastificarPara descargaros el tablero, hacer clic en la imagen:

Os dejo también un tablero más sobrio pensado para fichas de colores rojo y azul:

Si queréis jugar online, lo podéis hacer en esta web.

En esta entrada os voy a presentar un clásico de los juegos de tablero de saltar: el solitario inglés. Supongo que todos los conocéis, es casi seguro que lo habéis visto alguna vez en forma de tablero con agujeros acompañado de una colección de canicas. Es también conocido como solitario de la cruz o como senku (así  lo podéis encontrar en la wikipedia).

Junto al solitario inglés veremos una serie de problemas o retos de menor dificultad que son ideales para introducir a los alumnos en este juego de forma progresiva.

El solitario inglés

El tablero

El tablero más conocido es tablero inglés, pero existen bastantes variantes que aún con las mismas reglas o muy similares cambian ligeramente el juego. Los tableros más conocidos son, además del inglés los siguientes:


(1) Estilo francés (europeo), 37 casillas, Siglo XVII;
(2) J. C. Wiegleb, 1779, Alemania, 45 casillas;
(3) Versión asimétrica en 3-3-2-2 descrita por George Bell, siglo XX;
(4) Estilo inglés (estándar), 33 casillas;
(5) Diamante, 41 casillas;
(6) Triangular, 15 casillas.
La casilla gris es para la ficha que queda al final.

Objetivo del juego

Partiendo de un solo hueco libre, generalmente el central, se deben eliminar todas las piezas excepto una.

Reglas del juego

Cada movimiento consiste en saltar hacia adelante, hacia atrás o hacia ambos lados, pero nunca en diagonal, con una pieza cualquiera sobre otra adyacente para ocupar un hoyo inmediato que esté vacío. La pieza por encima de la cual se salta es eliminada del tablero.
El juego termina cuando sólo queda una pieza en el tablero.
Podemos aumentar la dificultad del juego si se exige que la última bola termine en el ce ocupando el lugar central.

Problemas o posiciones a resolver

Además de la posición en la que ponemos todas las fichas en el tablero menos una, existen otras posiciones de diferente dificultad que las podemos usar para introducir el juego de forma gradual.

La cruz

El signo más

Submarino

Hogar

 Pirámide

 Flecha

   

Diamante

 Pirámide – Flecha

 Tablero total

Os dejo un PDF con todas las posiciones.

Los tableros para imprimir

Como en toda la serie, os comparto unos tableros para que imprimir y/o plastificarPara descargaros el tablero, hacer clic en la imagen:

Os comparto también otros modelos de solitarios por si os apetece probarlos:

 

Podéis jugar al solitario inglés online aquí y podéis ver las soluciones en esta otra web.

¿De cuántas formas puede escribirse el número 100.001 como suma de dos números primos?

 

100.001=A+B siendo A y B primos

Nivel: Primer ciclo de Secundaria

En una entrada anterior, anuncié el comienzo de una serie de artículos dedicados a los juegos de estrategia que tienen un claro contenido matemático.

Voy a empezar esta serie de juegos matemáticos  con uno de mis preferidos “El juego del molino o nueve hombres de Harris“.

Es un juego que pertenece a la categoría de juegos de posición en los que las piezas deben colocarse de una determinada forma para ganar el juego.En este juego hay que tratar de hacer hacer tres en raya, (tres fichas seguidas en la misma línea) que se conoce como formar un “molino”. Puede parecer que al ser un juego de tres en raya, sea un juego sencillo pero como veréis en las reglas de juego, su complejidad es elevada. En próximos artículos, mostraré otros juegos de molino más sencillos que podríamos usar antes de introducir éste.

El molino o nueve hombres de Harris

El tablero y las fichas 

Se comienza con un tablero vacío como el del dibujo.

Juegan dos jugadores, cada uno nueve fichas de un color (nueve hombres de Harris) y  que se turnan para colocarlas en las intersecciones vacías.

molino

Reglas de juego:

El juego suele tener dos etapas, la primera de colocación de las piezas, llamada también el goteo; y la segunda, la etapa de mover y capturar piezas. Por lo general los jugadores deciden quien va primero, y luego se alternan en las próximas partidas.

En la etapa de goteo, cada jugador va colocando de forma alternada una pieza en el tablero. Si un jugador hace un molino (una fila de tres piezas), ya sea horizontal, verticalmente o en diagonal, puede eliminar cualquiera de las piezas del otro jugador del tablero de juego, a excepción de una pieza ubicada en un molino del jugador contrario (salvo que no exista otra opción). Es obligatorio “comer” las fichas contrarias. Si no se come, la ficha del jugador que no ha comido se retira del tablero.

Después de colocar cada jugador sus nueve fichas, los dos jugadores van desplazando, por turno, una de sus fichas a un punto adyacente libre (siempre a través de una línea y un único salto) para formar un molino y eliminar las fichas del contrario.

Para que las partidas den más juego, se suele jugar con la variante que permite al jugador que solo le quedan tres fichas, volar sus fichas, es decir,  moverlas a cualquier punto vacío sin tener que seguir las líneas.

Objetivo:

Gana la partida quien consigue bloquear las fichas del rival para que no pueda hacer ningún movimiento o quien ha dejado al contrario con solo dos fichas sobre el tablero.

El tablero para imprimir

Y con el motivo de facilitaros la tarea de llevarlo al aula o, simplemente, de pasar un rato divertido con este juego, he creado un tablero en A4 que solo tenéis que imprimir. Para descargaros el tablero, hacer clic en la imagen:

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Si queréis el tablero en blanco y negro, lo tenéis aquí.

Para finalizar, si os ha gustado el juego y queréis jugar online, lo podéis hacer en esta web.

Fuentes:

En otro artículo de este blog, ya he puesto un maravilloso vídeos creado por  Cristóbal Vila de Etérea Studios:

En este artículo, os invito a ver esta otra maravilla de Cristóbal titulada “Inspirations“, que tal y como dice, trata de imaginar como sería el escritorio de trabajo del genial Escher:

Así que volví a mirar hacia esa enorme e inagotable fuente de inspiración que es Escher y traté de imaginar cómo podría ser su lugar de trabajo, de qué cosas se rodearía un artista como él, tan profundamente interesado por la ciencia en general y las matemáticas en particular. Todo ello, eso sí, de una forma completamente imaginaria, libre e inventada.

Suelo poner este vídeo a mis alumnos para que vean otras cosas que están directamente relacionadas con las matemáticas y se quedan impresionados. El propio Cristóbal hace un excelente análisis de las matemáticas que hay tras el vídeo.

La cantidad de matemáticas y de recursos matemáticos que podemos encontrar en él es fantástica:

  • La leyenda de Sessa: esta leyenda es más conocida como la leyenda del origen del ajedrez. En dicha leyenda podemos encontrar las progresiones geométricas y de forma relacionada el poder de la función exponencial, así como los números binarios. Recuerdo que en una de las clases, les llamó mucho la atención las escenas relativas a esta leyenda y me pidieron que se la explicará. Al finalizar la explicación, una alumna (Sheila) me argumentó que era imposible que no hubiera grano en el mundo para pagar a Sessa. Se le escapaban los números, cosa lógica y común. Le respondí que no sabía si llevaba razón, que nos pusiéramos a hacer los cálculos y los números nos darían o quitarían la razón. Dicha discusión se avivó entre el resto de la clase, se había creado el germen del pensamiento matemático y, aprovechamos la coyuntura. Dividimos la clase en parejas y nos pusimos a hacer los cálculos. El resultado lo podéis imaginar ;-).
  • Los cinco sólidos platónicos. Los sólidos platónicos o regulares son los poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. Solo existen cinco sólidos regulares: cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro y dodecaedro.  En la siguiente imagen, podeís ver como los construimos en clase con palillos y gominolas. Al finalizar la clase, es fácil saber que hacemos con las gominolas.

  • El último Teorema de Fermat, un clásico donde los haya: “Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x,y,z tales que se cumpla la igualdad x^n+y^n=z^n (con x,y,z no nulos)”
  • La formula de Euler. Considerada la fórmula más bella de las matemáticas ya que relaciona en una sencilla fórmula, los números más importantes de la matemática: el número e, pi e i.
  • La curva cicloide. “Es la curva que genera un punto de una circunferencia cuando está gira sobre una línea recta”. Las propiedades de la cicloide, que ya los hermanos Bernouilli descubrieron, es un resultado que sorprende a la gran mayoría de la gente y que a los alumnos les ayuda a entender las forma de los Skate park. Pero esto da para más de un artículo de este blog.

  • Anamorfosis: “Dibujo o pintura que está deformada de tal modo que recupera su imagen sin deformaciones al mirarla desde un determinado ángulo o a través de un espejo cilíndrico o cónico”. Esta técnica la usan muchos artistas urbanos como “Julian Beever

Un ejemplo de esta técnica lo podemos encontrar en la “Casa de las Ciencias” de Logroño en la que se puede leer esta frase de Einstein: “Lo importante es no dejar de hacerse preguntas

Aquí tenéis el vídeo, que lo disfrutéis:

INSPIRATIONS from Cristóbal Vila on Vimeo.

Más información: Inspirations.

Image: ‘Shut the box… http://www.flickr.com/photos/97225010@N07/15127705956

El juego es una actividad en la que se combinan de forma lúdica, el razonamiento, la estrategia y la reflexión. Todo gira alrededor de un desafío acompañado de una competición contra otros o nosotros mismos que nos obliga a diseñar estrategias y habilidades que nos hagan superar el desafío. En el caso concreto de los juegos con componente estratégico, juegos que permiten tener estrategias ganadoras, sean más o menos complicadas, permiten fomentar la capacidad de análisis, de síntesis y de abstracción. Por todo ello, los juegos son excelentes recursos para desarrollar el pensamiento matemático, ese pensamiento que muchas veces está apartado de las matemáticas mucho más procedimentales que vemos en los cursos de primaria y secundaria. Unas matemáticas que aunque necesarias, deberían de ser complementadas con esas otras matemáticas más lúdicas, más cercanas a la belleza que nos permitirían hacer llegar a los alumnos la belleza de la matemáticas.

Muchos días salgo del aula dándole vueltas a lo que he tenido que enseñar transmitir a mis alumnos y me hago cruces, ante lo absurdo del temario. Por mucho que intente darle vueltas, ahí está el currículo como una espada de Damocles que quiere destruir las vocaciones matemáticas o simplemente el amor por esta disciplina. A veces, quiero romper con todo, darle la vuelta y hacer otras matemáticas o, simplemente matemáticas pero los condicionantes externos e internos, no permiten que sea posible o yo no me veo capaz de llevarlo a cabo. Todo lo anterior, me recuerda las palabras de Paul Lockart en su “Lamento de un matemático“:

Todo el mundo sabe que hay algo mal. Los políticos dicen «necesitamos más  nivel».   Las  escuelas,   por   su   parte,   «necesitamos   más   inversiones   y equipamiento». Los pedagogos dicen una cosa y los profesores otra. Todos están equivocados. Los únicos que entienden de verdad qué es lo que está pasando son precisamente aquellos a los que se  culpa con más frecuencia y a los que menos se escucha: los alumnos. Dicen «la clase de matemáticas es estúpida y aburrida». Y tienen razón.

Paul Lockart “El lamento de un matemático”

En otras ocasiones, he hablado de la enseñanza de las matemáticas en las que aparecía Paul Lockart, por lo que vuelvo a recomendar su lectura con la mente abierta y con espíritu crítico.

Siguiendo con el hilo de los juegos, ya en otras ocasiones he escrito sobre sus posibilidades y he mostrado diferentes ejemplos de juegos que considero útiles para llevar al aula:

Esta entrada, sirve de trampolín a una serie de juegos matemáticos de estrategia en los que iré poniendo los que me parecen más interesantes y divertidos. La gran mayoría de ellos, son juegos de tablero para los que he creado un pdf que solo tenemos que imprimir (y si es caso plastificar) para empezar a jugar. En breves días, aparecerán los siguientes juegos:

  • El molino o 9 hombres de Harris
  • Extratour de 6 piezas
  • El solitario ingles
  • El asalto

Y así seguiré hasta que se me agoten los juegos o las fuerzas.

Espero que os gusten.

normal_Mochuelo Europeo

http://www.fotolibre.org/displayimage.php?pid=3522

Un acertijo popular dice:
– Cada mochuelo a su olivo y sobra un mochuelo
– Dos mochuelos en cada olivo y sobra un olivo
¿Sabrías decir cuántos mochuelos y olivos hay?

Razona tu respuesta.

Nivel: Primer Ciclo de Secundaria

¿Cuál es el valor de la última figura?

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NIvel: Segundo ciclo de Secundaria

Fuente: Math2me

¿Eres capaz de calcular el área del rectángulo sabiendo que el radio de los círculos es 1 cm?

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Nivel: Segundo ciclo